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张祖锦, 杨兰萍, 李文鑫. 拓扑学中凝聚点的几个等价定义[J]. 赣南师范大学学报, 2017, 38 (03) : 6—7.

拓扑学中凝聚点的几个等价定义

Several equivalent definitions of accumulation points

张祖锦

Zujin Zhang

赣南师范大学数学与计算机科学学院

School of Mathematics and Computer Sciences, Gannan Normal University

(86) 07978393663

[email]zhangzujin361@163.com[/email]

摘要: 本文回忆了拓扑学中的在 $A_1$ 或 $T_1$ 空间中凝聚点的等价定义, 并给出了在 $A_1$ 且 $T_1$ 空间中凝聚点的又一个等价定义.

Abstract: In this paper, we first recall equivalent definitions of accumulation points in $A_1$ or $T_1$ spaces, then formulate a new equivalent definition in $A_1$ and $T_1$ spaces.

1. 介绍

在实分析中, 凝聚点是一个很重要的概念. 比如讨论区域 $D\subset \bbR^2$ 上二元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)\in\bbR^2$ 处的极限时, 首先必须假设 $(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的凝聚点 (参考 [2] 第 93 页). 书 [2] 第 163 页给出了凝聚点的三个等价定义. 我们叙述如下: 设 $E\subset \bbR^n$, $x_0\in\bbR^n$, 则以下论述等价:

(1) $x_0$ 的任一邻域内, 至少含有一个属于 $E$ 而异于 $x_0$ 点;

(2) $x_0$ 的任一邻域内都含有无穷多个属于 $E$ 的点;

(3) 存在 $E$ 中互异的点列 $x_n\to x_0$.

以上三个论述的等价性依赖于 $\bbR^n$ 的特殊结构. 在一般的拓扑空间中, 已不再成立. 设 $X$ 是一个集合, $\scrT$ 是 $X$ 的子集族, 若满足

(1) $\vno,X\in\scrT$;

(2) $A,B\in\scrT\ra A\cap B\in\scrT$;

(3) $\scrT_1\subset \scrT\ra \cup_{A\in\scrT_1}A\in\scrT$,

则称 $\scrT$ 是 $X$ 上的一个拓扑, $(X,\scrT)$ 是一个拓扑空间, $\scrT$ 中的元称为开集. 在拓扑空间 $(X,\scrT)$ 中, 我们可以定义邻域的概念. 设 $x_0\in X$, $U\subset X$, 若 $\exists\ O\in \scrT,\st x_0\in O\subset U$, 则称 $U$ 是 $x_0$ 的一个邻域. 记 $\scrU_{x_0}=\sed{U;\ U\mbox{ 是 }x_0\mbox{ 的邻域}}$. 有了邻域的概念后, 我们就可以定义凝聚点的概念. 若 $\forall\ U\in\scrU_{x_0},\ U\cap (A\bs \sed{x_0})\neq \vno$, 则称 $x_0$ 是 $E$ 的凝聚点. 由 [3] 定理 5.1.10 知在 $A_1$ 空间中, $x_0$ 是 $E$ 的聚点当且仅当 $\exists\ A\bs \sed{x}\ni x_n\to x_0$. 由 [3] 定理 6.1.3 知在 $T_1$ 空间中, $x_0$ 是 $E$ 的凝聚点当且仅当 $\forall\ U\in \scrU_{x_0},\ U\cap E$ 是无限集. 这两个等价定义直观是容易理解的. 事实上, $A_1$ 空间中每个点处都有一个可数邻域基, 而有一个递减的可数邻域基, 这个`` 可数''就跟可数点列有自然的关系; $T_1$ 空间中有限点集是闭集, 这个``有限'' 就和无限有自然的联系.

一个自然的问题就是: 在什么样的拓扑空间中, $x_0$ 是 $E$ 的凝聚点当且仅当存在 $E$ 中互异点列 $x_n\to x_0$? 我们发现只要拓扑空间是 $A_1$ 且 $T_1$ 的, 则上述问题成立, 见下文的主要定理.

2. 主要定理及证明

定理 1. 设拓扑空间 $(X,\scrT)$ 是 $A_1$ 空间, 也是 $T_1$ 空间, 则 $x_0$ 是 $E$ 的凝聚点当且仅当存在 $E$ 中互异点列 $x_n\to x_0$.

证明. $\la$: 设存在 $E$ 中互异点列 $x_n\to x_0$, 则由点列 $\sed{x_n}$ 互异知该点列至多只有一个 (不妨设为 $x_{n_0}$) 和 $x_0$ 重合, 而 $\sed{x_n}_{n=n_0+1}^\infty$ 就是 $E\bs\sed{x_0}$ 中的点列, 极限为 $x_0$. 由 $A_1$ 空间中凝聚点的刻画 ([3] 定理 ) 即知 $x_0$ 是 $E$ 的凝聚点.

$\ra$: 若 $x_0$ 是 $E$ 的凝聚点, 则由 $X$ 是 $A_1$ 空间知 $x_0$ 处有一个可数邻域基 $\sed{U_n}_{n=1}^\infty$. 令 $V_n=U_1\cap \cdots U_n$ 后容易知道 $\sed{V_n}_{n=1}^\infty$ 是 $x_0$ 处的一个递减可数邻域基. 往递推给出 $E$ 中互异点列 $x_n\to x_0$. 由 $x_0$

是 $E$ 的凝凝聚点知 $V_1\cap (E\bs \sed{x_0})\neq \vno$. 任意取定 $x_1\in V_1\cap (E\bs\sed{x_0})$. 若互异的 $x_1,\cdots,x_n\in V_n\cap (E\bs\sed{x_0})$ 已给定, 则由 $X$ 是 $T_1$ 空间知 $\sed{x_1,\cdots,x_n}$ 是闭集, 而 $V_{n+1}\cap \sed{x_1,\cdots,x_n}^c$ 是开集, 而是 $x_0$ 的一个开邻域. 由 $x_0$

是 $E$ 的凝凝聚点即知该邻域与 $E\bs\sed{x_0}$ 有交. 任意取定 $x_{n+1}\in [V_{n+1}\cap \sed{x_1,\cdots,x_n}^c]\cap (E\bs\sed{x_0})$ 即可.

综上, 我们证明了存在互异点列 $x_n\in V_n\cap (E\bs \sed{x_0})$. 该 $\sed{x_n}$ 收敛于 $x_0$. 事实上, 对 $\forall\ U\in \scrU_{x_0}$, 由 $\sed{V_n}_{n=1}^\infty$ 是 $x_0$ 处的邻域基知 $\exists\ V_N\subset U$. 又由 $\sed{V_n}_{n=1}^\infty$ 递减知 $ x_n\in V_n\subset V_N\subset U.$ 这即表明 $x_n\to x_0$.

注记. 下面两个例子表明定理中的 $A_1$ 性和 $T_1$ 性缺一不可.

(1) 设 $X$ 是包含有不可数个点的可数补空间, 则由 [3] 例 5.1.1 知 $X$ 不是 $A_1$ 空间, 由 [3] 例 6.1.1 知 $X$ 是 $T_1$ 空间. 容易知道 $\forall\ x\in X$, $x$ 都是 $X$ 的凝聚点. 我们可以用反证法来证明. 若 $\exists\ x_0\in X$, 不是 $X$ 的凝聚点, 则 $\exists\ U\in \scrU_x,\st U\cap (X\bs \sed{x})=\vno\ra X\bs \sed{x}\subset U^c.$ 但 $X\bs\sed{x}$ 是不可数集, $U$ 包含着一个开集, 而 $U^c$ 是有限集. 这是一个矛盾.

任取 $x\in X$, 由上论述知 $x$ 是 $X$ 的凝聚点, 但不存在 $X$ 中互异的点列 $\sed{x_n}$ 的极限为 $x$. 这也可以利用反证法来证明. 若 $X$ 中存在互异点列 $\sed{x_n}$ 的极限为 $x$, 由 [3] 例 2.7.1 即知 $\exists\ N,\st n\geq N\ra x_n=x$. 这与 $\sed{x_n}$ 的互异性矛盾.

(2) 设 $X=\sed{0,1}$, $\scrT=\sed{\vno,\sed{0},X}$, 则 $(X,\scrT)$ 不是 $T_1$ 空间, 但是 $A_1$ 空间. 容易看出 $1$ 是 $\sed{0}$ 的凝聚点. 但显然 $\sed{0}$

中没有互异点列的极限为 $1$.

参考文献

[1] 华东师范大学数学系, 数学分析 (第三版) 上册, 高等教育出版社, 2010 年.

[2] 华东师范大学数学系, 数学分析 (第三版) 下册, 高等教育出版社, 2010 年.

[3] 熊金城, 点集拓扑学讲义 (第四版), 高等教育出版社, 2011 年.